Trapez

Kategoria: Zagadnienia krolowej nauk.

Wersja archiwalna tematu "Trapez" z grupy pl.sci.matematyka



Grzelka Grzegorz
21 Kwi 1999, 03:00
Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.
grzel@friko4.onet.pl
Michał Kaczmarczyk
22 Kwi 1999, 03:00

Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.


Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)
Grzelka Grzegorz
22 Kwi 1999, 03:00
Wynik znam ale choc male uzasadnienie.
Dziekuje za odpowiedz i prosze o jeszcze.

=?ISO-8859-2?Q?Micha=B3_Kaczmarczyk?= napisał:


| Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
| odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
| którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.

Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)

--
Michał Kaczmarczyk      |\/| * |_/      | Historia uczy nas tylko jednego:
mailto:m@iname.com    |  | | | \      | że jeszcze nigdy nikogo niczego
http://student.uci.agh.edu.pl/~kaczmar  | nie nauczyła.


Michał Kaczmarczyk
26 Kwi 1999, 03:00

=?ISO-8859-2?Q?Micha=B3_Kaczmarczyk?= napisał:

| Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
| odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
| którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.

| Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)

Wynik znam ale choc male uzasadnienie.
Dziekuje za odpowiedz i prosze o jeszcze.


Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
dzieli go na pół. Punkt wspólny odcinka c z bokiem BC trapezu nazwijmy F.
Teraz z tw. Talesa:

a/(c/2)=BC/FC
b/(c/2)=BC/BF

stąd FC i BC wynoszą:

FC=BC*c/2a
BF=BC*c/2b

a ponieważ BC=BF+FC, zatem:

BC=BC*c/2(1/a+1/b).

Dzieląc obie strony przez BC*c/2 otrzymujemy:

2/c=1/a+1/b

Adam Michalski
9 Maj 1999, 03:00

Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
dzieli go na pół. Punkt wspólny odcinka c z bokiem BC trapezu nazwijmy F.
Teraz z tw. Talesa:
a/(c/2)=BC/FC
b/(c/2)=BC/BF


Dlaczego?
Przeciez A E i C nie beda wspoliniowe dla kazdego trapezu.

stąd FC i BC wynoszą:
FC=BC*c/2a
BF=BC*c/2b
a ponieważ BC=BF+FC, zatem:
BC=BC*c/2(1/a+1/b).
Dzieląc obie strony przez BC*c/2 otrzymujemy:
2/c=1/a+1/b


Ale ma wychodzic c = (a+b)/2.

Sorry, ale nie rozumiem. Moglbys jeszcze raz to napisac, najlepiej z jakas
chociazby prowizorka rysunku?

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Michał Kaczmarczyk
10 Maj 1999, 03:00

| Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
| dzieli go na pół. Punkt wspólny odcinka c z bokiem BC trapezu nazwijmy F.
| Teraz z tw. Talesa:

| a/(c/2)=BC/FC
| b/(c/2)=BC/BF

Dlaczego?
Przeciez A E i C nie beda wspoliniowe dla kazdego trapezu.

| stąd FC i BC wynoszą:

| FC=BC*c/2a
| BF=BC*c/2b

| a ponieważ BC=BF+FC, zatem:

| BC=BC*c/2(1/a+1/b).

| Dzieląc obie strony przez BC*c/2 otrzymujemy:

| 2/c=1/a+1/b

Ale ma wychodzic c = (a+b)/2.

Sorry, ale nie rozumiem. Moglbys jeszcze raz to napisac, najlepiej z jakas
chociazby prowizorka rysunku?


Tam, to był odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt
przecięcia się przekątnych.

W Twoim przypadku (odcinek łączący środki ramion) oznaczmy: ABCD - trapez,
AB = a - dłuższa podstawa, CD = b - krótsza, p - połowa długości ramienia
BC. Wystarczy teraz narysować odcinek równoległy do DA o początku w
punkcie C i końcu na boku AB (oznaczmy ten punkt E). Wówczas powstanie
trójkąt EBC. Odcinek EB będzie miał długość a-b (bo CD = AE = b). Obliczmy
teraz długość fragmentu szukanego odcinka zawartego w trójkącie EBC.
Będzie ona wynosić z tw. Talesa (a-b)/2p * p = (a-b)/2. Reszta tego
odcinka (poza trójkątem EBC) ma długość b (podobnie jak odcinki CD i AE).
Zatem cały szukany odcinek ma długość b+(a-b)/2 = (a+b)/2. CBDO.

           D_______________C
           /       b      /| p
          /______________/_|
         /       b      /  | p
        /______________/___|
        A      b      E a-b B

Adam Michalski
10 Maj 1999, 03:00

W Twoim przypadku (odcinek łączący środki ramion) oznaczmy: ABCD - trapez,
AB = a - dłuższa podstawa, CD = b - krótsza, p - połowa długości ramienia
BC. Wystarczy teraz narysować odcinek równoległy do DA o początku w
punkcie C i końcu na boku AB (oznaczmy ten punkt E). Wówczas powstanie
trójkąt EBC [...]


A no tak!
:-)
Dzieki!

Teraz jest ok.

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Adam Michalski
10 Maj 1999, 03:00

Michał Kaczmarczyk wrote in message ...

=?ISO-8859-2?Q?Micha=B3_Kaczmarczyk?= napisał:

| Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
| odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
| którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.

| Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)

Wynik znam ale choc male uzasadnienie.
Dziekuje za odpowiedz i prosze o jeszcze.
Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
dzieli go na pół.


To jeszcze tylko pytanie co do tej wersji zadania: czemu E dzieli go na pol?
Widac to, ale jak to uzasadnic?

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Adam Michalski
10 Maj 1999, 03:00

Adam Michalski wrote in message ...

Michał Kaczmarczyk wrote in message ...

| =?ISO-8859-2?Q?Micha=B3_Kaczmarczyk?= napisał:

| Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
| odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
| którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.

| Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)

| Wynik znam ale choc male uzasadnienie.
| Dziekuje za odpowiedz i prosze o jeszcze.

| Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
| dzieli go na pół.

To jeszcze tylko pytanie co do tej wersji zadania: czemu E dzieli go na
pol?
Widac to, ale jak to uzasadnic?


Juz dzieki, znalazlem w koncu te trojkaty podobne :-)

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Michał Kaczmarczyk
10 Maj 1999, 03:00

Michał Kaczmarczyk wrote in message ...

| =?ISO-8859-2?Q?Micha=B3_Kaczmarczyk?= napisał:

| Przekątne trapezu (dowolnego) przecinają sie w punkcie E. Kreślimy
| odcinek równoległy do podstaw a,b-dane przechodzący przez punkt E,
| którego końce leżą na ramionach trapezu. Oblicz długość tego odcinka.

| Średnia harmoniczna podstaw: 2/(1/a+1/b)

| Wynik znam ale choc male uzasadnienie.
| Dziekuje za odpowiedz i prosze o jeszcze.

| Nazwijmy trapez ABCD. AB=a CD=b. Szukany odcinek nazwijmy c. Punkt E
| dzieli go na pół.

To jeszcze tylko pytanie co do tej wersji zadania: czemu E dzieli go na pol?
Widac to, ale jak to uzasadnic?


Szukany odcinek dzieli wysokość trapezu h na h1 (przy CD) i h2 (przy AB).
Zatem (c/2)/a=h1/h, co jest prawdą dla obydwu połówek (raz mamy
jednokładność o środku w D, a raz w C).