Zadanie z rownoleglobokiem

Kategoria: Zagadnienia krolowej nauk.

Wersja archiwalna tematu "Zadanie z rownoleglobokiem" z grupy pl.sci.matematyka



Adam Michalski
10 Maj 1999, 03:00
Witam!

Znow problem, tym razem troche inny:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.

Zaczynam tak:

& niech bedzie katem ostrym rownolegloboku
przekatne niech beda e i f (e - krotsza)
x niech bedzie katem miedzy przekatnymi
a - dluzszy bok rownolegloboku
b - krotszy bok rownolegloboku
Stad kat miedzy przekatnymi jest x lub 180-x w zaleznosci od tego ktory (bo
sa 4).

P = 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 + 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 =
(efsinx)/2
czyli suma pol 4 trojkacikow na jakie dziela rownoleglobok przekatne.
Dobrze, wiec jedna niewiadoma (sinx) pozostaje.
Dalej mamy:

b^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 - 2cosx * (e/2) * (f/2)
a^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 +2cosx * (e/2) * (f/2)
e^2 = a^2 + b^2 - 2abcos&
No i niby w porzadku (chyba rownania sa dobre), ale co dalej :-))
Po pierwsze policze sobie jedynie cosx (no niby mozna dalej policzyc sinx
ale co ze znakiem...). Poza tym strasznie skomplikowane to wychodzi. Musi
byc jakis prostszy sposob. Moze czegos nie zauwazylem?

Prosze o pomoc

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Marek Szyjewski
10 Maj 1999, 03:00

"Adam Michalski" <aims@box43.gnet.plwrote:
Witam!

Znow problem, tym razem troche inny:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.

[ciach]

Prosze o pomoc

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat


Trzeba przedluzyc boki danego rownolegloboku i zrobic "szachownice"
2x2 z czterech jednakowych rownoleglobokow, przystajacych do danego.
Nastepnie narysowac przekatne wszystkich czterech rownoleglobokow i
zaobserwowac, ze w srodku pojawia sie rownoleglobok z przekatnych,
ktorego pole jest dwa razy wieksze od pola danego rownolegloboku.
Wystarczy wiec obliczyc cosinus kata miedzy przekatnymi (albo wartosc
bezwzgledna sinusa)

.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

Jacek Kudrys
11 Maj 1999, 03:00

Adam Michalski wrote:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.

Prosze o pomoc


Dowolny czworokat (wypukly) ABCD dzielimy na dwa trojkaty o wspolnej podstawie,

ktora jest jedna z przekatnych np. AC = d1. Pole czworoboku jest rowne sumie
pol tych trojkatow.
Podwojne pole trojkata ABC = d1*h1, gdzie h1 jest to wysokosc wystawiona
z wierzcholka B. Podobnie podwojne pole trojkata ADC = d1*h2, gdzie h2
jest wysokoscia z wierzcholka D.
Punkt przeciecia przekatnych O, dzieli druga przekatna BD = d2 na dwa odcinki
BO i OD. Znajac kat BOC = AOD = a miedzy przekatnymi mozemy napisac:

h1 = BO*sin(a)
h2 = OD*sin(a),

i dalej

2P = d1*h1 + d1*h2 = d1*BO*sin(a) + d1*OD*sin(a) = d1*d2*sin(a)

Poniewaz sin(a) = sin(180 - a) nie ma znaczenia ktory kat miedzy przekatnymi
wezmiemy do obliczen.

JK

Adam Michalski
11 Maj 1999, 03:00

Marek Szyjewski wrote in message <37372cf9.40596@155.158.99.2...
"Adam Michalski" <aims@box43.gnet.plwrote:

| Witam!

| Znow problem, tym razem troche inny:
| obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
| ostry.

[ciach]

| Prosze o pomoc

| Pozdrawiam

| Adam Michalski, 17 lat

Trzeba przedluzyc boki danego rownolegloboku i zrobic "szachownice"
2x2 z czterech jednakowych rownoleglobokow, przystajacych do danego.
Nastepnie narysowac przekatne wszystkich czterech rownoleglobokow i
zaobserwowac, ze w srodku pojawia sie rownoleglobok z przekatnych,
ktorego pole jest dwa razy wieksze od pola danego rownolegloboku.
Wystarczy wiec obliczyc cosinus kata miedzy przekatnymi (albo wartosc
bezwzgledna sinusa)


Ok, tylko jak najprosciej policzyc ten kat?

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl

Marek Szyjewski
12 Maj 1999, 03:00

"Adam Michalski" <aims@box43.gnet.plwrote:


[ciach]

Ok, tylko jak najprosciej policzyc ten kat?

Pozdrawiam


Trzeba by jakos z rysunku zobaczyc dowod dwoch twierdzen o
rownolegloboku o bokach a,b, przekatnych e,f i kacie x miedzy
przekatnymi:

e*f*cosx = a^2 - b^2 (z dokladnoscia do znaku)

e^2 + f^2 = 2(a^2 + b^2).

Teraz zeby obliczyc kat, trzeba spojrzec na szachownice: przekatnymi
rownolegloboku z przekatnych sa podwojone boki danego rownolegloboku,
wiec mozna zastapic e,f przez 2a,2b, a i b przez e,f, x przez kat
miedzy bokami danego rownolegloboku. To znaczy

4*a*b*cos(kat miedzy bokami) = e^2 - f^2.

Dowody tych dwoch twierdzen najlatwiej uzyskac uzywajac iloczynu
skalarnego wektorow, ale powinno sie je dac zauwazyc na rysunku z
szachownica albo wyprowadzic z obliczen, ktore wykonales.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

FiSt@szek
13 Maj 1999, 03:00
W rownolegloboku abcd

a - bok (odcinek "ab" i "dc")
f - rzut prostokatny "d" na "a"
g - rzut prostokatny "c" na przedluzenie "a"
x - odcinek "af" i "bg"
h - wysokosc (odcinek "df")
d1 - pierwsza przekatna (odcinek "ac")
d2 - druga przekatna (odcinek "db")
& - kat "bad"

w trojkacie acf z tw. pit.
(a+x)^2+h^2=d1^2
w trojkacie dfb z tw. pit.
(a-x)^2+h^2=d2^2

odejmojemujemy stronami otrzymujac:
4xa=d1^2-d2^2

w trojkacie adf:
tg&=h/x =x=h/tg&

obliczone x podstawiamy do wzoru:
4ah/tg&=d1^2-d2^2 (a to juz prawie wzor na pole)

Odp. Pole (ah)=(d1^2-d2^2)*tg&/4

Adam Michalski napisał(a) w wiadomości: ...

Witam!

Znow problem, tym razem troche inny:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.

Zaczynam tak:

& niech bedzie katem ostrym rownolegloboku
przekatne niech beda e i f (e - krotsza)
x niech bedzie katem miedzy przekatnymi
a - dluzszy bok rownolegloboku
b - krotszy bok rownolegloboku
Stad kat miedzy przekatnymi jest x lub 180-x w zaleznosci od tego ktory (bo
sa 4).

P = 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 + 2 * [ (e/2) * (f/2) * sinx ] / 2 =
(efsinx)/2
czyli suma pol 4 trojkacikow na jakie dziela rownoleglobok przekatne.
Dobrze, wiec jedna niewiadoma (sinx) pozostaje.
Dalej mamy:

b^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 - 2cosx * (e/2) * (f/2)
a^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 +2cosx * (e/2) * (f/2)
e^2 = a^2 + b^2 - 2abcos&
No i niby w porzadku (chyba rownania sa dobre), ale co dalej :-))
Po pierwsze policze sobie jedynie cosx (no niby mozna dalej policzyc sinx
ale co ze znakiem...). Poza tym strasznie skomplikowane to wychodzi. Musi
byc jakis prostszy sposob. Moze czegos nie zauwazylem?

Prosze o pomoc

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl


Janusz Szopka
14 Maj 1999, 03:00
Adam Michalski <aims@box43.gnet.plnapisal:

Witam!
Znow problem, tym razem troche inny:
obliczyc pole rownolegloboku majac dane dlugosci jego przekatnych i kat
ostry.
Zaczynam tak:
& niech bedzie katem ostrym rownolegloboku
przekatne niech beda e i f (e - krotsza)
x niech bedzie katem miedzy przekatnymi
a - dluzszy bok rownolegloboku
b - krotszy bok rownolegloboku


Niech ha bedzie wysokoscia do boku a

sin & = ha/b

Pole tego trojkata:
P = (1/2)*a*ha = (1/2)*a*b*sin &

Stad pole rownolegloboku
S = 2*P = a*b*sin &

Z tw. cosinusow:
e^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos &
f^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos(180-&) = a^2+b^2+2*a*b*cos &

Stad:
e^2+2*a*b*cos & = f^2-2*a*b*cos &

4*a*b*cos & = f^2-e^2

a*b=(f^2-e^2)/4*cos &

Podstawiamy do S:

S = a*b*sin & = (1/4)*(f^2-e^2)*tg &
                ---------------------

          Janusz Szopka

Adam Michalski
15 Maj 1999, 03:00

FiSt@szek wrote in message ...
W rownolegloboku abcd

a - bok (odcinek "ab" i "dc")
f - rzut prostokatny "d" na "a"
g - rzut prostokatny "c" na przedluzenie "a"
x - odcinek "af" i "bg"
h - wysokosc (odcinek "df")
d1 - pierwsza przekatna (odcinek "ac")
d2 - druga przekatna (odcinek "db")
& - kat "bad"

w trojkacie acf z tw. pit.
(a+x)^2+h^2=d1^2
w trojkacie dfb z tw. pit.
(a-x)^2+h^2=d2^2

odejmojemujemy stronami otrzymujac:
4xa=d1^2-d2^2


A no wlasnie!!!

w trojkacie adf:
tg&=h/x =x=h/tg&

obliczone x podstawiamy do wzoru:
4ah/tg&=d1^2-d2^2 (a to juz prawie wzor na pole)

Odp. Pole (ah)=(d1^2-d2^2)*tg&/4


DZIEKI Wam wszystkim!
Po prostu nie moglem wpasc na to odjecie stronami, co rozwiazuje problem.

Pozdrawiam

Adam Michalski, 17 lat
aims@polbox.com
aims@box43.gnet.pl
aims@free.com.pl